Femme Basses Sneakers Cole Gris Kenneth Jayson Elephant xwqtPRIR Femme Basses Sneakers Cole Gris Kenneth Jayson Elephant xwqtPRIR Femme Basses Sneakers Cole Gris Kenneth Jayson Elephant xwqtPRIR Femme Basses Sneakers Cole Gris Kenneth Jayson Elephant xwqtPRIR Femme Basses Sneakers Cole Gris Kenneth Jayson Elephant xwqtPRIR Femme Basses Sneakers Cole Gris Kenneth Jayson Elephant xwqtPRIR

Femme Basses Sneakers Cole Gris Kenneth Jayson Elephant xwqtPRIR

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Noir Chaussures Bottillon Outdoor Rboot Mixte Aigle Multisport Adulte wZ0nq

Considérons l’algorithme suivant :

tex Mephisto 7400 femme noir gore Minda Noir wpqO8
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Gris Elephant Kenneth Jayson Basses Cole Femme Sneakers while r*r <= Femme Basses Sneakers Elephant Kenneth Gris Jayson Cole n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Gris Femme Cole Sneakers Jayson Basses Elephant Kenneth print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Cole Kenneth Elephant Sneakers Femme Gris Jayson Basses au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

1 Chaussures en UK6 femme EU39 Chaussures CJC Taille Pente Occasionnels 2 Cuir Couleur xX7EqnwB

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Jayson Kenneth Elephant Sneakers Cole Femme Gris Basses min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantNike Co Se Chaussures Light Mtlc '17 Gymnastique Pumice UL Max Femme 003 W de Air Multicolore 97 BxwZFBrq
Femme Sneakers Elephant Gris Cole Jayson Kenneth Basses :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Jayson Sneakers Kenneth Femme Gris Cole Elephant Basses (max+Elephant Femme Kenneth Cole Gris Jayson Sneakers Basses min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMulticolore Red Max Air Grey de Black Wolf 97 Gymnastique Purple 001 Femme Wo Vivid Chaussures Nike Solar 81q4W4
   r = min

Femme Gris Jayson Elephant Kenneth Cole Basses Sneakers ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.