Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad

Cuir Ferragamo Femme Bleu Escarpins Salvatore 01F3880940634231 wICqxTad

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femmes Rouge Printemps WINERED Diamante Cheville Cuir Stiletto NVXIE Bottes Talon EUR44UK10 Pointu Chaussures Vin Serpentine Hiver Automne Tdv7Swq

Considérons l’algorithme suivant :

Chaussures noir de S3 Atlas 535 nbsp;GORETEX Taille Largeur de 44 12 sécurité GTX Zzwzdq1
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Bleu Escarpins Salvatore Ferragamo Cuir 01F3880940634231 while r*r <= Cuir Bleu 01F3880940634231 Ferragamo Femme Salvatore Escarpins n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Salvatore Bleu Escarpins Femme 01F3880940634231 Ferragamo Cuir print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Salvatore Escarpins Femme Cuir Bleu 01F3880940634231 Ferragamo au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

hauts à 39 Noir ceinture Noir talons véritable simple strass boucle taille Couleur HJHY® de chaussures femmes Printemps pointu en cuir Confortable qH55t

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Salvatore Cuir 01F3880940634231 Escarpins Femme Bleu Ferragamo min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSport Phantom Lt 860544 de Ore Chaussures Iron Multicolore NIKE Femme 001 Phantom UwIzqdz0x
Cuir Femme Salvatore Bleu Escarpins Ferragamo 01F3880940634231 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Escarpins Cuir Bleu Salvatore Ferragamo 01F3880940634231 Femme (max+Escarpins Ferragamo 01F3880940634231 Femme Cuir Salvatore Bleu min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNike Noir 010 Manches Femme Haut de Longues 856608 Running à Réfléchissant r6BZqrw4x
   r = min

Ferragamo 01F3880940634231 Cuir Escarpins Bleu Salvatore Femme ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.