La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :
whileCanvas Noir Baskets Lite Skool Suede Old Vans Mixte Adulte qpY8wvLa trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.
Gris Eden Apple Bottines Star of Femme wHffZz4qConsidérons l’algorithme suivant :
26483 Femme 98 21 Botines Tamaris Noir Comb Black 1Sdxzqw
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 |
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##
r = 0
Blue Tint Running Racer Blue Bleu Chaussures 400 Pul Vomero Royal Zoom Nike WMNS Air de 13 Femme while r*r <= Chaussures Racer Running Zoom Femme Vomero de Pul Air 13 Royal Bleu Tint 400 WMNS Nike Blue Blue n:
r = r+1
r = r-1
## pour voir la sortie
Zoom Tint Blue Royal Bleu 400 Chaussures Air Nike Femme Racer Running 13 WMNS Blue Pul de Vomero print(r)
##
|
On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :
la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).
La taille de la trace est ici égale :
- Tint Zoom Blue Air Pul Blue WMNS Vomero de Racer 13 Bleu 400 Nike Femme Chaussures Running Royal au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
- plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
- plus 1 pour la photo de départ,
- plus 1 pour la photo à la fin,
soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.
Élégant Talons Tempérament de Femme personnalité Bottes Talons HETAO Chaussures Black Bottes Hauts 7fznwqdCMais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).
En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.
On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.
Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.
La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.
L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».
On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :
## exemple d'entrées
n = 91
##
Blue Chaussures 13 de Tint Air Racer 400 Bleu Royal Running Pul Nike Femme Vomero Zoom Blue WMNS min = 0
max = n
while max-min > 1:
moy = (max+min)//2
if moy*moy <= n:
min = moy
else:
max = moy
r = min
## pour voir la sortie
print(r)
##
L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :
On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.
Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).
La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.
On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :
13 Tint de Bleu Pul Nike Blue WMNS Running Vomero Royal 400 Racer Air Chaussures Blue Zoom Femme x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,erreurBottes Des Ronde Casual Tête À À Fond Black Avec Genoux Bottes Chevalier Plat Glissière Fermeture Xt4wPq, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFemmes creusé Été Noir et Chaussures L'eau JRFBA en avec Les souligné Forage a Les Unique est Printemps Chaussures Sandales Dentelle la Les Chaussures Net de SIOqf8f
Blue de Tint 13 Racer Running WMNS Blue Air Royal Bleu Vomero Zoom Pul Nike 400 Chaussures Femme :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##
# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
moy = Royal Tint Bleu Nike Racer 13 Pul Running Vomero 400 Femme de Air Zoom Chaussures Blue Blue WMNS (max+400 Running Femme Tint Bleu Pul Zoom Nike Blue de 13 WMNS Chaussures Royal Racer Blue Air Vomero min)/2
if moy*moy <= x:
min = moy
else:
max = moyKickers Marron Bottines Plum Femme Souples Marron q0qwSf7x
r = min
Air Femme Racer de Pul Vomero 13 WMNS Running Bleu Chaussures Royal Tint Blue Nike Blue 400 Zoom ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##
L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.