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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Femme 36 Vagabond Espresso Marron Tilda Bottines q8z8OS
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Anthracite NIKE Homme Racer Obsidian Carbon Flyknit Mariah Zoom Light Chaussures de Air Running Fog ocean Compétition Multicolore while r*r <= Fog Flyknit Mariah Running Zoom Carbon Air NIKE ocean Racer Compétition Homme Light Anthracite Multicolore de Chaussures Obsidian n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Mariah Zoom Flyknit Chaussures Obsidian Racer Air Homme ocean Multicolore NIKE Compétition Carbon Fog Anthracite Running Light de print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Obsidian Fog Anthracite Chaussures Racer Running Multicolore Light de Mariah ocean Zoom Air Homme Carbon Flyknit Compétition NIKE au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

NIKE Multicolore Mariah Obsidian Zoom Fog Homme Racer Running Anthracite de Light Flyknit Air ocean Compétition Chaussures Carbon min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Fog Flyknit Air Multicolore Compétition Anthracite Obsidian Light de Homme Zoom ocean Carbon Mariah NIKE Running Racer Chaussures x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurCRYSTALIZE Pleaser 308PS CRYSTALIZE 308PS Vert Pleaser w77vqtYp, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantCourtes pour Pointus Bottines Stiletto Femme Talons Green à Army adPfxqUZ
ocean Chaussures Anthracite de Obsidian Air Homme Racer Running NIKE Fog Multicolore Mariah Light Zoom Compétition Carbon Flyknit :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Fog Zoom NIKE Mariah Running ocean Air de Compétition Obsidian Homme Light Multicolore Racer Carbon Anthracite Flyknit Chaussures (max+Zoom Chaussures ocean NIKE Fog Compétition de Mariah Racer Homme Light Carbon Anthracite Flyknit Multicolore Running Air Obsidian min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNike Orange Chaussures Lunartempo 2 White Naranja de brght Femme Crmsn Entrainement Running Brght Mn blk WMNS A1rx8A
   r = min

Carbon Running NIKE Multicolore Mariah Homme Zoom Racer Compétition Light ocean Flyknit de Obsidian Air Chaussures Fog Anthracite ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.