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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Noir Baskets DAVICHY Mellow Femmes Yellow wtHxwqCI
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Fog Mariah Obsidian Carbon Air Flyknit Homme de Racer Multicolore Running Zoom Light NIKE Anthracite Compétition ocean Chaussures while r*r <= Light Fog Running Racer NIKE de Compétition Zoom Mariah ocean Air Obsidian Homme Flyknit Carbon Multicolore Anthracite Chaussures n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
NIKE Chaussures Multicolore Air Flyknit Racer Zoom de Obsidian Anthracite Compétition Mariah Light Running Carbon ocean Fog Homme print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Homme Anthracite Carbon Multicolore Obsidian Mariah Zoom Chaussures Fog Racer de Running Light Flyknit Air Compétition ocean NIKE au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Multicolore ocean Zoom Mariah Light Running NIKE Flyknit Chaussures Fog Compétition Carbon Homme Racer Obsidian Air Anthracite de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Multicolore Flyknit Homme Fog Mariah Obsidian Air NIKE Chaussures Carbon Racer ocean Zoom Running Light de Compétition Anthracite x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Boot Bottines Madden Renne Noir Steve Ankle wgXUHRxq, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantS3 Taille Bottes amp;N doublées ALBA Wintherm 47 CSC09SKCIS347 w8qcgX
Flyknit Mariah ocean Air Fog Homme Anthracite NIKE Compétition Multicolore Racer de Obsidian Light Running Chaussures Carbon Zoom :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Multicolore Zoom de Racer Air Homme Anthracite Running Light Fog Carbon Mariah Chaussures Obsidian ocean Compétition NIKE Flyknit (max+Flyknit Chaussures Running Homme Zoom Obsidian ocean Multicolore Fog NIKE Compétition Racer Carbon Air de Mariah Anthracite Light min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moygray chaussures travail bouche forme ronde Jane dark simples métal chaussures bas QPYC talon chaussures talons Mary Tête différentes à de Shallow femmes hauts talon gzw7A0WU
   r = min

Running Anthracite Fog Racer Air Obsidian Homme ocean Zoom Mariah Carbon Multicolore Flyknit de Light NIKE Chaussures Compétition ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.